BILANGAN, Bilangan Bulat, Pengertian, Operasi Hitung, dan Sifat-sifat Hitung Bilangan Bulat

BILANGAN BULAT

A. Pengertian Bilangan Bulat dan Lambangnya 

Bilangan bulat bilangan yang merupakan gabungan antara bilangan Cacah (bilangan Asli + 0) dengan bilangan Negatif (bulat Negatif). Bilangan bulat dilambangkan dengan Z (Zahlen), bahasa Jerman artinya bilangan. Sehingga bilangan bulat dituliskan dengan:

Z = {… -5,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 …}

Untuk jelasnya lihat garis bilangan berikut:

B. Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Bulat

1. Membandingkan bilangan bulat

Lambang-lambang untuk membandingkan dua bilangan bulat sebagai berikut:

• a lebih dari b, ditulis a > b
• a kurang dari b, ditulis a < b
• a lebih dari atau sama dengan b, ditulis a ≥ b
• a kurang dari atau sama dengan b, ditulis a ≤ b

Contoh:

• 10 > 5
• 7 < 9

Catatan:
Untuk a ≥ b, maksudnya adalah, misalkan a adalah bilangan bulat 7, maka berlaku b adalah bilangan 7 pula atau bisa juga b adalah bilangan bulat 6, 5, 4 , dan seterusnya kebawah (makin kecil) atau kekiri pada garis bilangan.

Untuk a ≤ b, maksudnya adalah, misalkan a adalah bilangan bulat 5, maka berlaku b adalah bilangan 5 pula atau bisa juga b adalah bilangan bulat 6, 7, 8 , dan seterusnya keatas (makin besar) atau kekanan pada garis bilangan.

2. Mengurutkan bilangan bulat

Mengurutkan bilangan bulat adalah menuliskan bilangan bulat secara terurut yang dimulai baik itu dari yang nilainya terkecil ataupun terbesar. Pada garis bilangan, makin ke kanan posisi suatu bilangan bulat, maka semakin besar nilainya. Sebaliknya, semakin ke kiri, maka nilainya semakin kecil.

Contoh:
Misalkan diberikan bilangan bulat secara acak, 1, -1, 2, 3, 5, 4, dan 0, maka:

Urutan bilangan dari yang terkecil nilainya ke terbesar nilainya:

-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 

Urutan bilangan dari yang terbesar nilainya ke terkecil nilainya:

5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, 

C. Operasi Hitung Bilangan Bulat

1. Penjumlahan bilangan bulat

Bentuk:

(−a) + (−b) = −(a + b)

Contoh:
(-7) + (-8) = -(7 + 8) = - 15

Bentuk:
(−a) + b = −(a − b) 

Contoh:
(-7) + 8 = -(7 - 8) = - (-1) = 1

Bentuk:
(−a) + b = b − a  

Contoh:
(-7) + 8 = 8 - 7 = 1

Jadi disimpulkan bahwa ternyata:
(−a) + b = −(a − b) = b − a  

2. Pengurangan bilangan bulat

Bentuk:
a − b = a + (−b)

Contoh:
7 - 10 = 7 + (-10) = -3

Bentuk:
a − (−b) = a + b

Contoh:
7 – (-10) = 7 + 10 = 17

3. Perkalian bilangan bulat

(+) × (+) = +

Keterangan: Hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif

Contoh: 4 × 9 = 36

(+) × (−) = −

Keterangan: Hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif

Contoh: 4 × (−9) = −36

(−) × (+) = − 

Keterangan: Hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif

Contoh: (−4) × 9 = −36

(−) × (−) = +

Keterangan: Hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif

Contoh: (−4) × (−9) = 36

4. Pembagian bilangan bulat

(+) ÷ (+) = +

Keterangan: Hasil bagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif

Contoh: 20 ÷ 4 = 5

(+) ÷ (−) = −

Keterangan: Hasil bagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif

Contoh: 20 ÷ (−4) = −5

(−) ÷ (−) = +

Keterangan: Hasil bagi bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif

Contoh: (−20) ÷ (−4) = 5

(−) ÷ (+) = −

Keterangan: Hasil bagi bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif

Contoh:  (−20) ÷ 4 = −5

D. Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat

1. Sifat Komutatif (Pertukaran)

• Sifat Komutatif Penjumlahan

a + b = b + a

Contoh: 7 + 8 = 8 + 7 = 15

• Perkalian

a × b = b × a

Contoh: 9 × 8 = 8 × 9 = 72

2. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)

Sifat Asosiatif terhadap Penjumlahan

Bentuk:

a + b + c = (a + b) + c

Contoh: 

7 + 8 + 2 

= (7 + 8) + 2 

= 15 + 2 

= 17

Bentuk:

a + b + c = a + (b + c)

Contoh: 

7 + 8 + 2 

= 7 + (8 + 2) 

= 7 + 10 

= 17

Kesimpulan:
a + b + c = (a + b) + c =  a + (b + c) 

Sifat Asosiatif terhadap Perkalian

a × b × c = (a × b) × c =  a × (b × c) 

Contoh: 

2 × 3 × 4 

= (2 × 3) × 4 

= 6 + 4 

= 24

a × b × c = a × (b × c) 

Contoh: 

2 × 3 × 4 

= 2 × (3 × 4) 

= 2 + 12 

= 24

Kesimpulan:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c) 

3. Sifat Distributif (Penyebaran)

a × (b + c) = (a × b) + (a × c) 

Contoh: 
2 × (4 + 5) = (2 × 4) + (2 × 5) 

Bukti:

• 2 × (4 + 5) = 2 × 9 = 18
• (2 × 4) + (2 × 5) = 8 + 10 = 18

E. Perpangkatan Bilangan Bulat

1. Bentuk umum bilangan berpangkat

aⁿ = a × a × a × a × a × .... × a 

Keterangan: 

Perkalian antar a berulang sebanyak n kali

contoh:

a⁴ = a × a × a × a    ⇒ Perkalian antar a berulang sebanyak 4 kali

a⁵ = a × a × a × a × a ⇒ Perkalian antar a berulang sebanyak 5 kali

a⁶ = a × a × a × a × a × a ⇒ Perkalian antar a berulang sebanyak 6 kali

2. Sifat-sifat operasi bilangan berpangkat

• Perkalian

a³ × a⁵ 

= (a × a × a) × (a × a × a × a × a)

= a × a × a × a × a × a × a × a

a³⁺⁵  = a⁸

•  Pembagian

a⁵ ÷ a³  = (a × a × a × a × a) ÷ (a × a × a)

= (a × a) × (a × a × a) × (a × a × a)

= (a × a) × 1 

= a × a 

a⁵⁻³  = a²

• Perpangkatan

contoh:

• (a²)³ = a⁶
• (a²)⁵ = a¹⁰

F. Akar Kuadrat Bilangan Bulat

√b = a ⟹ a² = b

Contoh:

• √9 = 3 ⟹ 3² = 9
• √25 = 5 ⟹ 5² = 25

G. Akar Pangkat 3 Bilangan Bulat

∛b=a ⟹ a³ = b

Contoh: 

• ∛8=2 ⟹ 2³ = 8
• ∛27=3 ⟹ 3³ = 27