Perpangkatan dan Bentuk Akar

Bentuk Umum Bilangan Berpangkat

Perpangkatan adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Bentuk umum dari perpangkatan adalah

$a^{n\ }=\ {\underbrace{a\times a\times a\times\ .\ .\ .\ \times a}}$ perkalian a berulang sebanyak n kali, dengan n bilangan bulat positif.

Contoh, perpangkatan 3 seperti di bawah ini:

$3\times3\times3\times3\times3=3^5 $

3 disebut sebagai bilangan pokok (basis) sedangkan 5 sebagai pangkat (eksponen).

Perkalian Pada Perpangkatan

Sifat perkali dari perpangkatan dengan basis yang sama

${a^m\times a}^{n\ }=a^{m+n}$

Contoh:

${3^5\times3}^3=3^{5+3}=3^8$

Sifat pemangkatan dari perpangkatan dengan basis yang sama

$\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}=a^{mn}$

Contoh:

$\left(5^2\right)^3=5^{2\times 3}=5^{6}$

Contoh lain:

$\left(3^3\right)^2=3^{3\times2}=3^6$

Bukti:
$\left(3^3\right)^2=\left(3\times3\times3\right)\times\left(3\times3\times3\right)$

=$3\times3\times3\times3\times3\times3$

=$3^6$

Sifat perpangkatan dari suatu perkalian bilangan

$\left(a\times b\right)^n$

Contoh:

$\left(2\times3\right)^3=2^3\times3^3$

Pembagian Pada Perpangkatan

Hasil bagi dari perpangkatan dengan basis yang sama

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Contoh:

$\frac{3^6}{3^4}=3^{6-4}=3^2$

Perpangkatan pada pecahan

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

Contoh:

$\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}$

Pangkat Nol

Untuk setiap a bilangan real tak nol, $a^0$ bernilai 1

Secara aljabar dapat ditulis kembali sebagai berikut:

$a^0=1$ untuk a bilangan real tak dan $a\neq0$

Pangkat Negatif

Untuk setiap a bilangan real tak nol dan n bilangan bulat, berlaku:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n} $

Bentuk Akar

$\sqrt a$ dibaca “akar kuadrat dari a”

Jika a tidak negatif, $\sqrt a$ adalah bilangan tidak negatif dimana $\left(\sqrt a\right)^2= a$

$\sqrt[n]{a}$ dibaca “akar pangkat n dari a”

Jika a tidak negatif, maka $\sqrt[n]{a}$ jika dan hanya jika $b^n=a$ dan b tidak negatif.

Jika a negatif dan n ganjil, maka $\sqrt[n]{a}$ jika dan hanya jika $b^n=a$.

Menyederhanakan perkalian bentuk akar

Jika a dan b bilangan positif, berlaku:

$b\sqrt a+c\sqrt a=\left(b+c\right)\sqrt a$
$b\sqrt a-c\sqrt a=\left(b-c\right)\sqrt a$
$\sqrt{ab}=\sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b$

Jika a dan b bilangan positif, dan b bukan 0, maka berlaku:

$\sqrt{\frac{a}{b}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}}$ .

Notasi Ilmiah

Notasi ilmiah atau bentuk baku dari suatu bilangan positif dituliskan dalam bentuk $a\times{10}^n$ dengan $ 1<a<10$ dan n adalah bilangan bulat.

Untuk bilangan lebih atau sama dengan 10

Gunakan pangkat positif jika memindahkan titik desimal ke kiri.

Contoh:

$8.500.000=8,5\times1.000.000=8,5\ \times{10}^6 $

$144.000.000=1,44\times100.000.000=1,44\ \times{10}^8$

Untuk bilangan antara 0 dan 1

Gunakan pangkat negatif ketika memindahkan titik desimal ke kanan.

Contoh:

$0.0000085=8,5\ \div1.000.000=8,5\ \times{10}^{-6}$

$0.00000000144=1,44\ \div100.000.000=1,44\ \times{10}^{-8}$