Akar-akar Persamaan Kuadrat - Dematika

Jika a×b = 0, maka a = 0 atau b = 0. Karena:

• Untuk a = 0, maka 0×b = 0,
• Untuk b = 0, maka a×0 = 0.

Jika (x – 1) (x – 2) = 0, maka (x – 1) = 0 atau (x – 2) = 0. Karena:

• Untuk (x – 1) = 0 maka 0 × (x – 2) = 0,
• Untuk (x – 2) = 0 maka (x – 1) × 0 = 0.

Oleh karena:

• x – 1 = 0, maka x = 1
• x – 2 = 0, maka x = 2

Nah x = 1 dan x = 2 tersebut diatas dikenal dengan istilah “akar-akar persamaan kuadrat”

 

Pada persamaan (x – 1) (x – 2) = 0, jika dioperasikan maka menjadi:

 

Jadi,  (x – 1) (x – 2) = x² – 3x + 2

Bentuk x² – 3x + 2 = 0 inilah yang dinamakan dengan persamaan kuadrat.

Bentuk umum dari persamaan kuadrat yaitu:
ax² + bx + c = 0 , dengan a ≠ 0 dan a, b, c adalah bilangan Real

Contoh persamaan kuadrat:

• Persamaan x² – 3x + 2 = 0, dengan b = -3 dan c = 2
• Persamaan x² + 5x + 6 = 0, dengan b = 5 dan c = 6
• Persamaan x² – x – 6 = 0, dengan b = -1 dan c = -6
  

MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT

Akar persamaan kuadrat dari ax² + bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga cara, yaitu: 

1. Memfaktorkan  
2. Melengkapi Kuadrat Sempurna 
3. Rumus Kuadratik (Rumus ABC)
   

1.    Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan 

a. Faktorisasi dengan hukum distributif

ax² + abx = ax(x + b)

px² + pqx = px(x + q)

 

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari persamaan 2x² + 10x = 0!

 

Jawab:

2x² + 10x = 0

⟹ 2x(x + 5) = 0

⟹ 2x = 0       atau    x + 5 = 0

⟹ x = 0                     x = -5

Jadi penyelesaiannya adalah x₁ = 0 dan x₂ = -5

 

b. Faktorisasi selisih dua kuadrat

x² - y² = (x + y)( x - y)

Tentukan penyelesaian dari persamaan x² + 4 = 0!

Jawab:

x² + 4 = 0

⟹ x² + 2² = 0

⟹ (x + 2) (x - 2) = 0

⟹ x + 2 = 0   atau    x - 2 = 0

⟹ x = -2                    x = 2

Jadi penyelesaiannya adalah x₁ = -2 dan x₂ = 2

 

c. Faktorisasi bentuk x² + bx + c menjadi (x + p)(x + q)

x² + bx + c = (x + p)(x + q)

x² + bx + c = x² + (p + q)x + (p × q)

Jadi, untuk memfaktorkan harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga b = p + q dan c = p × q

 

Contoh:

Tentukan akar-akar persamaan dari x² + 5x + 6 = 0

 

Penyelesaian:

Dari persamaan x² + 5x + 6 = 0, didapatkan b = 5 dan c = 6, sehingga harus dicari bilangan p dan q sedemikian sehingga p + q = 5 dan pq = 6. Dalam hal ini dilihat syarat pq = 6 terlebih dahulu, sehingga pasangan nilai p dan q yang mungkin adalah:

Syarat ke dua adalah p + q = 5, maka berdasarkan tabel pada baris kedua didapatkan  p = 2 dan q = 3 atau dapat dibalik menjadi p = 3 dan q = 2. Kedua hasil ini merupakan hasil yang sama. Sehingga didapat pemfaktorannya yaitu:

x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Karena x² + 5x + 6 = 0, maka (x + 2)(x + 3) = 0, sehingga  

x + 2 = 0  

x₁ = -2 

 

atau 

x + 3 = 0  

x₂ = -3